Senin, 07 November 2011

Tugas 2

1. (p∧q)→r
    Konvers : r→(p∧q)
    Invers    :  ¬(p∧q)→¬r
                      ⇔¬p∨(¬q→¬r)
   Kontraposisi : ¬r→¬(p∧q)
                         ⇔¬r→(¬p∨¬q)

2. p→(q∧r)
   Konvers  : (q∧r) →p
   Invers      :  ¬p→ ¬(q∧r)
                    ⇔¬p→¬q∨¬r
  Kontraposisi : ¬ (q∧r)→¬p
                         ⇔(¬q∨¬r)→¬p

3.  ¬p→(q∧¬r)
    Konvers  :  (q∧¬r)→¬p
   Invers       : p→¬(q∧¬r)
                   ⇔ p →(¬q∨r)
  Kontraposisi :¬ (q∧¬r)→p

                        ⇔ (¬q∨r)→p

4. (p ∨¬q)→(q∧r)
    Konvers :  (q∧r)→(p ∨¬q)
   Invers     : ¬(p ∨¬q)→¬(q∧r)
                     ⇔(¬p∧q)→(¬q∨¬r)

5. ( ¬q∧¬r)→(¬p∨q)
   Konvers  :  (¬p∨q)→( ¬q∧¬r)
  Invers       : ¬( ¬q∧¬r)→¬(¬p∨q)
                    ⇔(q∨r)→(p∧¬q)


6. (q∨¬r)→(p∧r)
      Konvers   :  (p∧r)→(q∨¬r)
      Invers       :  ¬(q∨¬r)→¬(p∧r)
                        ⇔(¬q∧r)→(¬p∨¬r)
     Kontraposisi  : ¬ (p∧r)→¬(q∨¬r)
                           ⇔  (¬p∨¬r)→(¬q∧r)

Tugas 4

1. The truth table of (X Y) (X Z)
X
Y
Z
(X Y)
(X Z)
(X Y)   (X Z)
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T

Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)

Proposisi (Pernyataan) Elementer       
                Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah saja, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah). Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, proposisi atau pernyataan elementer yang dinyatakan dengan huruf kecil, misal p, q, r, s, dst.
            Perhatikan kalimat di bawah:
1.      p: Semarang Ibu Kota Jawa Tengah.
2.      q: a faktor dari 6.
3.      r: Dua adalah bilangan ganjil.
4.      s: Mudah-mudahan lulus ujian.
5.      t: 2+6=8
6.      u: x faktor dari 5.
7.      v: 5+4<7
8.      w: Selesaikan soal di bawah
9.      k: x+5=9
10.  l: x-2<7
Kalimat tersebut yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).
            Kalimat Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)
Adalah kalimat yang memuat peubah atau variable sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.
Sebuah kalimat terbuka akan menjadi pernyataan jika peubahnya diganti dengan sesuatu.
Contoh :
1.       X+5=9 (kalimat terbuka)
2.       X2-3x+4=0 (kalimat terbuka)
3.       Mudah-mudahan lulus ujian. (kalimat harapan)
4.      Selesaikan soal di bawah! (kalimat perintah)
5.       Mengapa kamu terlambat? (kalimat tanya)
Kalimat terbuka berbeda dengan pernyataan
Ingkaran Suatu Pernyataan
Lambang (¬)
Dinamakan dengan negasi/penyangkalan/ingkaran dengan menyisipkan kata “tidak” pada kalimat.
Contoh: Pernyataan: Budi memakai baju biru.
                Negasi  :Budi tidak memakai baju biru.

Tabel Kebenaran Ingkaran
Apabila p suatu pernyataan bernilai benar, maka negasi p akan menjadikan pernyataan p bernilai salah.
Apabila p suatu pernyatan bernilai salah,  maka negasi p akan menjadikan pernyataan p bernilai benar
p
¬p
B
S
S
B

Proposisi Komposit

            Misalkan p, q masing-masing proposisi elementer (pernyataan), maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit.
Proposisi
Dibaca
Disebut
pɅq
p bil q
konjungsi
pVq
p atau q
disjungsi
p→q
Jika p maka q
implikasi
p↔q
p jika dan hanya jika q
biimplikasi
¬p
Ingkaran p
negasi

Jadi dapat disimpulkan bahwa proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai. Ada lima perangkai yaitu: Ʌ, V, →, ↔, ¬ .
Nilai Kebenaran Proposisi Komposit
p
q
pɅq
pVq
p→q
p↔q
¬p
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu proposisi, bisa menggunakan table kebenaran. Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan banyaknya baris pada table kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut.
Banyaknya Proposisi Elementer
Banyaknya Baris pada Tabel
2
22=4
3
23=8
4
24=16
.
.
n
2n

Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi



1.       Tautologi
                Adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi.
Contoh: (pɅq)→p selalu bernilai benar.

2.       Kontradiksi
                Adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Contoh: pɅ(pVq) selalu bernilai salah.

3.       Kontingensi
                Adalah proposisi komposit yang bukan tautologi dan kontradiksi.
Contoh: p→(pɅq) dan (pɅq)→r masing-masing bukan tautologi dan kontradiksi.